Tegangan Geser dalam Ilmu Teknik Sipil

Tegangan geser terjadi pada 2 macam pembebanan:

 akibat beban lengkungØ

 akibat beban puntirØ

1) Tegangan geser akibat beban lengkung

a) Shear flow dan shear stress

Suatu balok mendapat beban lengkung dan kita lihat suatu elemen dengan panjang dx dan lebar b pada penampang tegak. Pada arah meninggi, dibuat elemen dengan tebal dy. Pada ujung kiri bekerja momen lengkung sebesar MA dan pada elemen seluas bdy bekerja tegangan normal sebesar , sehingga terjadi gaya sebesar .

Pada ujung kanan bekerja momen lengkung sebesar MB yang menghasilkan tegangan normal sebesar , sehingga terjadi gaya sebesar .

Resultan dari kedua gaya ini adalah

Karena MB = MA + dM dan y adalah lengan luasan bdy terhadap sumbu Z (neutral axis, sumbu netral) jadi ybdy adalah momen statis Q terhadap sumbu Z, maka hasil di atas menjadi .

Kita lihat dF bekerja pada panjang dx (dari luasan sisi bawah atau atas bdx), maka gaya geser per satuan panjang menjadi

dengan V adalah gaya geser atau gaya lintang

q kita sebut shear flow, yaitu gaya geser per satuan panjang.

Dari segi lain, dF bekerja pada luasan sebesar bdx (pada penampang datar) mengakibatkan tegangan geser t sebesar

yaitu shear flow dibagi lebar atau tebal, tetapi juga

Rumus di atas diturunkan untuk suatu penampang pejal.

Penampang terbuka berdinding tipis

Untuk penerapan pada suatu penampang terbuka berdinding tipis, momen statis Q untuk menghitung q dan t dimulai dari ujung tanpa beban. Lihat contoh.

Jika suatu flange sangat lebar, maka cara di atas tidak lagi benar meskipun Q dimulai dari ujung tanpa beban. Karena itu, di BKI untuk perhitungan girder, lebar efektif harus dibaca dari tabel.

Contoh soal:

Diketahui:

Penampang melintang kapal dengan bentuk dan ukuran seperti pada gambar. Pada penampang ini bekerja gaya lintang V 1 MN. Titik B di tengah AC, titik D di tengah CE dan titik F di tengah EG

Hitung:

Tegangan geser pada titik-titik A s/d G

Jawab:

 Menghitung titik berat dan momen inersia penampangØ

item Hor [m] Ver [m] area A [m2] Lengan l [m] Al Al2 hv3/12

ABC 4.5 0.007 0.0315 9 0.2835 2.5515 1.286e-7

CDE 0.008 9 0.072 4.5 0.324 1.458 0.486

EFG 8 0.009 0.072 0 0 0 4.86e-7

S = 0.1755 0.6075 4.0095 0.486001

KG = 0.6075 m3/0.1755 m2 = 3.4615 m

I terhadap alas = (4.0095 + 0.486001) m4 = 4.495501 m4

IKG = 4.495501 m4 - 0.1755 m2.( 3.4615 m)2 = 2.392616 m4

 Menghitung momen statis, shear flow dan tegangan geserØ

item Hor [m] Ver [m] Lengan [m] Luas A Lengan thd NA [m] Al [m3] SAl = Q q t

A 0 0 0 0 0

(A)B 2.25 0.007 9 0.01575 5.53846 0.08723 0.08723 36458 2604166

(B)C 2.25 0.007 9 0.01575 5.53846 0.08723 0.17446 72917 5208332

C(D) 0.008 0.17446 72917 4557290

(C)D 0.008 4.5 6.75 0.036 3.28846 0.11839 0.29285 122396 7649738

(D)E 0.008 4.5 2.25 0.036 -1.21154 -0.0436 0.24923 104167 6510415

E(F) 0.009 0.24923 104167 5787036

(E)F 4 0.009 0 0.036 -0.12462 -0.12462 0.12462 52083 2893518

(F)G 4 0.009 0 0.036 -0.12462 -0.12462 0 0 0

Titik B dihitung sebagai ujung batang AB, karena itu huruf A ditulis dalam tanda kurung. Dalam perhitungan di atas, momen inersia dihitung hanya untuk setengah penampang, demikian juga momen statis hanya untuk bagian kiri penampang, jadi lengkapnya adalah 2I dan 2Q. Dalam teori di atas, perhitungan dilakukan untuk seluruh penampang. Tetapi karena rumus untuk shear flow maka faktor 2 dalam 2Q dan 2I dapat dicoret, hingga hasilnya benar. Tetapi rumus tegangan geser adalah dan b adalah untuk seluruh penampang, maka b harus diambil jumlah b kiri dan b kanan = 2*tebal.

Selain itu, karena penampang ini simetris, maka pada titik G, momen statis Q terhadap sumbu netral harus = 0 hingga tegangan geser t =0.

Penampang tertutup berdinding tipis

Yang dimaksud dengan penampang tertutup berdinding tipis adalah penampang yang kalau dipotong di sebarang titik, penampang itu tidak menjadi 2 bagian yang terpisah. Jika harus memotong 1 kali lagi (total ada 2 potongan) baru terpisah jadi 2, penampang disebut singly connected dan ada 1 cell atau cincin. Jika harus memotong 2 kali lagi (total 3 potongan), penampang disebut doubly connected dan ada 2 cell atau cincin atau secara umum multiple connected.

Contoh penampang tertutup adalah penampang kapal dengan alas ganda (gabungan open dan closed), penampang kapal tanker.

Dalam pembahasan di atas, perhitungan dimulai dari titik yang tegangan gesernya = 0. Pada penampang tertutup, titik itu tidak diketahui letaknya. Jadi masalahnya menjadi statis tak tentu, maka untuk penyelesaiannya dibutuhkan persamaan lagi. Langkah penyelesaiannya adalah dengan memotong (cut) penampang semula di satu atau lebih titik hingga penampang menjadi penampang terbuka dan dihitung tegangan gesernya sebagai penampang terbuka. Banyaknya potongan atau cut harus sesedikit mungkin. Lalu diberikan koreksi supaya kembali ke keadaan tanpa potongan.

Suatu penampang terbuka yang ujung-ujungnya bersinggungan dan mendapat beban geser, akan mengalami "warping", salah satu ujung bergerak ke kiri dari bidang penampang semula (bukan bidang potongan atau cut), sedang ujung yang lain bergerak ke kanan. Besarnya pergeseran pada penampang terbuka diberikan oleh rumus:

Integral ini dilakukan sekeliling tiap sel

Supaya ujung-ujung ini bertemu kembali, harus diberikan shear flow koreksi yang memberikan deformasi pada arah berlawanan, sehingga ujung-ujung ini bertemu kembali, sesuai keadaan kalau tidak dipotong. Ini berarti slip harus = 0, sehingga rumus di atas menjadi

Dengan rumus ini G dibuang dan slip akibat shear flow untuk penampang terbuka dijadikan nol dengan memberikan shear flow koreksi sebagai berikut:

Karena shear flow koreksi adalah konstan dan dan V dan I konstan, maka harga-harga konstan ini dapat dikeluarkan dari integral, sehingga rumus di atas menjadi

Jadi ada N persamaan untuk N yang dicari sehingga semua qi dapat dihitung. Hasilnya kemudian dijumlahkan dengan hasil shear flow untuk penampang terbuka

dengan

q0 = shear flow penampang terbuka

q1 = shear flow koreksi untuk cell 1

q2 = shear flow koreksi untuk cell 2

dan seterusnya.

Penjumlahan dilakukan pada tiap "batang" yang terkait dengan suatu cell atau cincin tertentu.

Jika dilihat lebih jauh, dalam hubungan q = VQ/I, harga gaya geser V dan momen inersia penampang I adalah sama, maka dapat dicoret dari ruas kiri dan kanan, sehingga persamaan di atas menjadi

Dalam pelaksanaannya, ada 2 perjanjian tanda yang harus diperhatikan:

 perjanjian tanda dalam menghitung Qi untuk mendapatkan qi. Integrasi dimulai dari titik potong (cut) dan harga lengan berubah tanda jika menyeberangi sumbu netralØ

 perjanjian tanda dalam integrasi siklis dan . Setelah letak titik potong ditentukan, maka arah shear flow menjadi tertentu. Perjanjian tandanya adalah: q0 berharga positif jika arah q0 adalah searah jarum jam dalam cell tersebut. Perjanjian yang sama dipakai untuk qi.Ø

Contoh soal:

Diketahui:

Penampang melintang kapal dengan bentuk dan ukuran seperti pada gambar. Pada penampang ini bekerja gaya lintang V 1 MN. Titik B di tengah AC, titik D di tengah CE dan titik F di tengah EG dan seterusnya

Hitung:

Tegangan geser pada titik-titik A s/d U

Jawab:

Penampang ini mempunyai 2 cell atau cincin, yaitu ACGKA dan AKMQA. Karena itu dibutuhkan paling sedikit 2 potongan atau cut untuk merubah penampang ini menjadi penampang terbuka. Potongan kita lakukan di kiri dan kanan titik A dan kita hitung shear flow sebagai penampang terbuka

Jawab:

1. Menghitung titik berat dan momen inersia penampang

Item Hor [m] Ver [m] area A [m2] Lengan l [m] Al Al2 hv3/12

XBC 8 0.007 0.056 9 0.504 4.536 2.2867e-7

CDE 0.008 4.5 0.036 6.75 0.243 1.64025 0.06075

EFG 0.008 4.5 0.036 2.25 0.081 0.18225 0.06075

GHK 8 0.009 0.072 0 0 0 0.486e-7

YRQ 8 0.007 0.056 9 0.504 4.536 2.2867e-7

QPO 0.008 4.5 0.036 6.75 0.243 1.64025 0.06075

ONM 0.008 4.5 0.036 2.25 0.081 0.18225 0.06075

KHG 8 0.009 0.072 0 0 0 0.486e-7

AST 0.006 4.5 0.027 6.75 0.18225 1.230188 0.0455625

TUK 0.006 4.5 0.027 2.25 0.06075 0.136688 0.0455625

S = 0.454 1.899 14.08388 0.3341264

KG = 1.899 m3/0.454 m2 = 4.1828 m

I terhadap alas = (13.0815 + 1.3365014) m4 = 14.418 m4

IKG = 14.418 m4 - 0.454 m2.(4.1828 m)2 = 6.474827 m4

2. Menghitung momen statis dan shear flow penampang terbuka

Cabang XCGK

Item Hor [m] Ver [m] Luas A [m2] Lengan thd alas [m] Lengan thd NA [m] Al [m3] SAl [m3] q0

1 X 0 0 0

2 (X)B 4 0.007 0.028 9 4.817181 0.134881 0.134881 20831.607

3 (B)C 4 0.007 0.028 9 4.817181 0.134881 0.269762 41663.213

4 C(D) 0.008 0.269762 41663.213

5 (C)D 0.008 2.25 0.018 7.875 3.692181 0.066459 0.336221 51927.464

6 (D)E 0.008 2.25 0.018 5.625 1.442181 0.025959 0.362181 55936.721

7 (E)F 0.008 2.25 0.018 3.375 -0.80782 -0.01454 0.347640 53690.986

8 (F)G 0.008 2.25 0.018 1.125 -3.05782 -0.05504 0.292599 45190.258

9 G(H) 0.009 0.292599 45190.258

10 (G)H 0.009 4 0.036 0 -4.18282 -0.150582 0.142018 21933.808

11 (H)K 0.009 4 0.036 0 -4.18282 -0.150582 -0.008564 -1322.642

Cabang AK

Item Hor [m] Ver [m] Luas A Lengan thd alas [m] Lengan thd NA [m] Al [m3] SAl [m3] q0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 A 0.006 0 0 0

5 (A)S 0.006 2.25 0.0135 7.875 3.692181 0.049844 0.049844 7698.188

6 (S)T 0.006 2.25 0.0135 5.625 1.442181 0.019469 0.069314 10705.13

7 (T)U 0.006 2.25 0.0135 3.375 -0.80782 -0.01091 0.058408 9020.83

8 (U)K 0.006 2.25 0.0135 1.125 -3.05782 -0.04128 0.017128 2645.283

9 0.017128 2645.283

10 0.017128 2645.283

11 0.017128 2645.283

Cabang YQMK

Item Hor [m] Ver [m] Luas A Lengan thd alas [m] Lengan thd NA [m] Al [m3] SAl [m3] q0

1 Y 0 0 0

2 (Y)R 4 0.007 0.028 9 4.817181 0.134881 0.134881 20831.61

3 (R)Q 4 0.007 0.028 9 4.817181 0.134881 0.269762 41663.21

4 Q(P) 0.008 0.269762 41663.21

5 (Q)P 0.008 2.25 0.018 7.875 3.692181 0.066459 0.336221 51927.46

6 (P)O 0.008 2.25 0.018 5.625 1.442181 0.025959 0.362181 55936.72

7 (O)N 0.008 2.25 0.018 3.375 -0.80782 -0.01454 0.34764 53690.99

8 (N)M 0.008 2.25 0.018 1.125 -3.05782 -0.05504 0.292599 45190.26

9 M(L) 0.009 0.292599 45190.26

10 (M)L 0.009 4 0.036 0 -4.18282 -0.150582 0.142018 21933.81

11 (L)K 0.009 4 0.036 0 -4.18282 -0.150582 -0.00856 -1322.64

Gabungkan ketiga tabel

S Al = Q q

1 X Y 0 0

2 (X)B (Y)R 0.269762 41663.21

3 (B)C (R)Q 0.539524 83326.43

4 C(D) A Q(P) 0.539524 83326.43

5 (C)D (A)S (Q)P 0.722287 111553.1

6 (D)E (S)T (P)O 0.793675 122578.6

7 (E)F (T)U (O)N 0.753688 116402.8

8 (F)G (U)K (N)M 0.602326 93025.8

9 G(H) M(L) 0.602326 122578.6

10 (G)H (M)L 0.301163 46512.9

11 (H)K (L)K 0 0

Pada kolom S Al = Q, kita jumlahkan semua Al yang ada dalam baris tersebut. Pada baris 4 dan 7 tidak ada Al, karena pada kedua baris tersebut, kita melewati suatu belokan tanpa ada tambahan Al.

Dalam ketiga cabang, arah positif adalah dari ujung (titik A, P dan Q) ke arah menjauhi ujung.

3. Persamaan untuk shear flow koreksi

Karena ada 2 cell dan 2 shear flow koreksi, maka

atau secara lebih rinci

Hasil semua integral berupa angka sehingga didapat 2 persamaan dengan q1 dan q2 tidak diketahui, hingga dapat diselesaikan.

4. Menghitung koefisien persamaan baris pertama

 Menghitung ruas kanan, yaituØ

o Cell AKGCX

 batang ASTUK§

s = 2.25 m, t = 0.006 m, arah shear flow searah dengan jarum jam

Point q0 FS q0 FS

A(S) 0 1 0

(A)S 7698.1879 4 30792.75174

(S)T 10705.131 2 21410.26228

(T)U 9020.8296 4 36083.31848

(U)K 2645.2834 1 2645.2834

S 90931.61587

?q0ds 68198.712 ?q0ds/t 11366451.98

 batang KHG§

s = 4 m, t = 0.009 m, arah shear flow berlawanan dengan jarum jam

Point q0 FS q0 FS

K(H) 2645.2834 1 2645.2834

(K)H -1322.6417 4 -5290.566741

(H)G 21933.808 1 21933.808

S 19288.52458

?q0ds 25718.033 ?q0ds/t -2857559.197

 batang GFEDC§

s = 2.25 m, t = 0.008 m, arah shear flow berlawanan dengan jarum jam

Point q0 FS q0 FS

G(F) 21933.808 1 21933.808

(G)F 45190.258 4 180761.0303

(F)E 53690.986 2 107381.9718

(E)D 55936.721 4 223746.8851

(D)C 51927.464 1 51927.464

S 585751.1589

?q0ds 439313.37 ?q0ds/t -54914171.15

 batang CBX§

s = 4 m, t = 0.007 m, arah shear flow berlawanan dengan jarum jam

Point q0 FS q0 FS

C(B) 51927.464 1 51927.464

(C)B 20831.607 4 83326.42618

(B)X 41663.213 1 41663.213

S 176917.1029

?q0ds 235889.47 ?q0ds/t -33698495.8

Semua ?q0ds/t kita jumlahkan, didapat = -80103774.16 N/m

 Menghitung ruas kiri, yaitu danØ

 Koefisien untuk q1Ø

o Cell AKGCX

 batang ASTUK, t = 0.006 m§

Point S

(A)S 2.25

(S)T 2.25

(T)U 2.25

(U)K 2.25

S 9

?(1/t)ds 1500

 batang KHG, t = 0.009 m§

Point S

(K)H 4

(H)G 4

S 8

?(1/t)ds 888.89

 batang GFEDC, t = 0.008 m§

Point S

(G)F 2.25

(F)E 2.25

(E)D 2.25

(D)C 2.25

S 9

?(1/t)ds 1125

 batang CBX, t = 0.007 m§

Point S

(C)B 4

(B)X 4

S 8

?(1/t)ds 1142.86

Jumlahkan semua ?(1/t)ds dan didapat S?(1/t)ds = 4656.746

 Koefisien untuk q2Ø

 batang KUTSA, t = 0.006 m§

Point S

(A)S 2.25

(S)T 2.25

(T)U 2.25

(U)K 2.25

S 9

?(1/t)ds 1500

Jadi persamaan baris pertama adalah

4656.746 q1 + 1500 q2 = -80103774.16

5. Menghitung koefisien persamaan baris kedua

 Menghitung ruas kanan, yaituØ

o Cell YQMKA

 batang YRQ§

s = 4 m, t = 0.007 m, arah shear flow searah dengan jarum jam

point q0 FS Q0 FS

Y(R) 0 1 0

(Y)R 20831.6065 4 83326.4262

(R)Q 41663.2131 1 41663.2131

S 124989.639

?q0ds 166652.852 ?q0ds/t 23807550.3

 batang QPONM§

s = 2.25 m, t = 0.008 m, arah shear flow searah dengan jarum jam

point q0 FS q0 FS

Q(P) 41663.2131 1 41663.2131

(Q)P 51927.4637 4 207709.855

(P)O 55936.7213 2 111873.443

(O)N 53690.9859 4 214763.944

(N)M 45190.2576 1 45190.2576

S 621200.712

?q0ds 465900.534 ?q0ds/t 58237566.7

 batang MLK§

s = 4 m, t = 0.009 m, arah shear flow searah dengan jarum jam

point q0 FS Q0 FS

M(L) 45190.2576 1 45190.2576

(M)L 21933.8079 4 87735.2318

(L)K -1322.6417 1 -1322.6417

S 131602.848

?q0ds 175470.464 ?q0ds/t 19496718.2

 batang KUTSA§

s = 2.25 m, t = 0.006 m, arah shear flow berlawanan dengan jarum jam

point q0 FS q0 FS

K(U) -1322.6417 1 -1322.6417

(K)U 2645.28337 4 10581.1335

(U)T 9020.82962 2 18041.6592

(T)S 10705.1311 4 42820.5246

(S)A 7698.18793 1 7698.18793

S 77818.8635

?q0ds 58364.1477 ?q0ds/t -9727357.9

Semua ?q0ds/t kita jumlahkan, didapat = 91814477.3 N/m

 Menghitung ruas kiri, yaitu danØ

 Koefisien untuk q2Ø

o Cell YQMKA

 batang YRQ, t = 0.007 m§

Point S

(Y)R 4

(R)Q 4

S 8

?(1/t)ds 1142.86

 batang QPONM, t = 0.008 m§

Point S

(Q)P 2.25

(P)O 2.25

(O)N 2.25

(N)M 2.25

S 9

?(1/t)ds 1125

 batang MLK, t = 0.009 m§

Point S

(M)L 4

(L)K 4

S 8

?(1/t)ds 888.889

 batang KUTSA, t = 0.006 m§

Point S

(K)U 2.25

(U)T 2.25

(T)S 2.25

(S)A 2.25

S 9

?(1/t)ds 1500

Jumlahkan semua ?(1/t)ds dan didapat S?(1/t)ds = 4656.746

 Koefisien untuk q1Ø

o Cell AKGCX

 batang ASTUK§

Point S

(A)S 2.25

(S)T 2.25

(T)U 2.25

(U)K 2.25

S 9

?(1/t)ds 1500

Jadi persamaan baris kedua adalah

1500 q1 + 4656.746 q2 = -91814477.3

6. Penyelesaian persamaan shear flow koreksi

4656.746 q1 + 1500 q2 = 80103774.16

1500 q1 + 4656.746 q2 = -91814477.3

Dari kedua persamaan ini didapat hasil:

q1 = 26279.2485 N/m searah jarum jam

q2 = -28181.341 N/m berlawanan arah jarum jam

7. Hasil Akhir

Point q0 q1 Searah/

berlawanan q0 + q1

X 0 26279.2485 -1 -26279.2485

(X)B 20831.607 26279.2485 -1 -5447.642

(B)C 41663.213 26279.2485 -1 15383.965

C(D) 41663.213 26279.2485 -1 15383.965

(C)D 51927.464 26279.2485 -1 25648.215

(D)E 55936.721 26279.2485 -1 29657.473

(E)F 53690.986 26279.2485 -1 27411.737

(F)G 45190.258 26279.2485 -1 18911.009

G(H) 45190.258 26279.2485 -1 18911.009

(G)H 21933.808 26279.2485 -1 -4345.441

(H)K -1322.642 26279.2485 -1 -27601.89

Point q0 q1 Searah/

berlwn q2 Searah/

berlwn q0 + q1 + q2

0 26279.2485 -28181.341

0 26279.2485 -28181.341

0 26279.2485 -28181.341

A 0 26279.2485 -28181.341

(A)S 7698.188 26279.2485 1 -28181.341 -1

(S)T 10705.13 26279.2485 1 -28181.341 -1

(T)U 9020.83 26279.2485 1 -28181.341 -1

(U)K 2645.283 26279.2485 1 -28181.341 -1

2645.283 26279.2485 -28181.341

2645.283 26279.2485 -28181.341

2645.283 26279.2485 -28181.341

Point q0 q2 Searah/

berlawanan q0 + q2

Y 0 -28181.341

(Y)R 20831.61 -28181.341

(R)Q 41663.21 -28181.341

Q(P) 41663.21 -28181.341

(Q)P 51927.46 -28181.341

(P)O 55936.72 -28181.341

(O)N 53690.99 -28181.341

(N)M 45190.26 -28181.341

M(L) 45190.26 -28181.341

(M)L 21933.81 -28181.341

(L)K -1322.64 -28181.341